Paano makalkula ang lugar ng isang paralelogram na itinayo sa mga vectors

Sa anumang dalawang mga vector na noncollinear at nonzero, maaaring itayo ang isang paralelogram. Ang dalawang vectors na ito ay magkontrata ng paralelogram kung pagsamahin mo ang kanilang pinagmulan sa isang punto. Tapusin ang mga gilid ng figure.

Manwal ng pagtuturo

1

Hanapin ang mga haba ng mga vectors kung ang kanilang mga coordinate ay ibinigay. Hayaan, halimbawa, ang vector A ay may mga coordinate (a1, a2) sa eroplano. Pagkatapos ang haba ng vector A ay | A | = √ (a1² + a2²). Katulad nito, nahanap namin ang module ng vector B: | B | = √ (b1² + b2²), kung saan ang b1 at b2 ay ang mga coordinate ng vector B sa eroplano.

2

Ang paralelogram na lugar ay natagpuan ng formula S = | A | • | B | • kasalanan (A ^ B), kung saan ang A ^ B ay ang anggulo sa pagitan ng mga ibinigay na vectors A at B. Ang sine ay matatagpuan sa pamamagitan ng kosine gamit ang pangunahing identipikasyong trigonometric: sin²α + cos²α = 1. Ang kosine ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng produkto ng scalar ng mga vectors na nakasulat sa mga coordinate.

3

Ang produktong scalar ng isang vector A sa pamamagitan ng isang vector B ay tinukoy ng (A, B). Sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay pantay sa (A, B) = | A | • | B | • kos (A ^ B). At sa mga coordinates, ang produkto ng scalar ay nakasulat na tulad nito: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Mula dito maipahayag natin ang kosine ng anggulo sa pagitan ng mga vektor: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). Sa numerator, ang produktong scalar; sa denominator, ang haba ng mga vectors.

4

Ngayon ay maipahayag natin ang sine mula sa pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometric: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Kung ipinapalagay natin na ang anggulo α sa pagitan ng mga vectors ay matalim, ang minus na may sine ay maaaring itapon, iniiwan lamang ang plus sign, dahil ang sine ng talamak na anggulo ay maaari lamang maging positibo (o zero sa zero anggulo, ngunit narito ang anggulo ay hindi zero, ipinapakita ito sa kondisyon kawalan ng pagkakaisa ng mga vectors).

5

Ngayon ay kailangan nating kapalit ang expression ng coordinate para sa kosine sa formula ng sine. Pagkatapos nito, nananatili lamang upang isulat ang resulta sa paralelogram area formula. Kung ginagawa natin ang lahat at pinasimple ang expression na numero, pagkatapos ay lumiliko na ang S = a1 • b2-a2 • b1. Sa gayon, ang lugar ng paralelogram na itinayo sa mga vectors A (a1, a2) at B (b1, b2) ay matatagpuan sa pormula na S = a1 • b2-a2 • b1.

6

Ang nagresultang expression ay ang determinant ng matrix na binubuo ng mga coordinate ng mga vectors A at B: a1 a2b1 b2.

7

Sa katunayan, upang makakuha ng isang determinant ng isang matris ng sukat dalawa, kailangan nating dumami ang mga elemento ng pangunahing diagonal (a1, b2) at ibawas mula sa produktong ito ng mga elemento ng panig na diagonal (a2, b1).